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Translation : Emmanuel Azencot
Author : Emmanuel Azencot
Creation : Fri May  2 16:13:44 CEST 2014
Update: Fri May  2 16:13:44 CEST 2014

Mouvement du bussard ramjet idéal

English

Mouvement d'autres bussards ramjets

Le Bussard Ramjet est une idée de propulsion interstellaire proposée par le Dr Robert Bussard en 1960 [1]. Elle consiste à capturer de la matière dans le milieu traversé et à l'utiliser comme carburant nucléaire. En effet, même si le milieu galactique est "vide", il ne l'est pas complètement et contient environ 0.1 à 0.3 protons par cm3 [4].

Les distances intersidérales sont telles que pour les franchir en temps raisonnable il faut atteindre des vitesses énormes, de l'ordre de 1/3 de la vitesse de la lumière pour les étoiles les plus proches. Pour obtenir ces vitesses il faut des quantité d'énergies telles, que le simple poids de cette énergie pure est déjà un problème s'il faut l'embarquer au départ. Toutes les solution qui emportent leur carburant sont en effet soumises à la contrainte de Tsiolkovsky [2] qui, au mieux donne une rapidité en log du rapport de masse par la masse à vide [7] p11.

Comme le dispositif du Dr Bussard n'emporte pas de carburant et qu'il tire son énergie sur le milieu, il n'est pas soumis à cette contrainte. Cependant, ce principe se heurte à de nombreuses questions portant sur le bilan énergétique, en particulier sur rendement la capture de matière v.s. l'énergie utile que l'on pourrait en espérer en tirer [5].


Bien que les performances réelles de ce dispositif atteindrait à grand peine le domaine relativiste, si tant est qu'on aurait les moyens et la technologie pour cette réalisation, la plupart des auteurs effectuent les calculs dans ce registre de la mécanique.

La mise en équation correcte de son mouvement dans le cadre de la relativité restreinte m'a demandé plusieurs mois tant mes études étaient loin et je souhaite éviter cette peine à ceux qui trouveront cette page en donnant les résultats que j'ai trouvés dans différentes situations.

Pour ce qui est de l'exactitude, sachez que le document n'a été relu par quiconque et qu'une ou plusieurs erreurs sont cachées dedans. Pour cette raison il serait très imprudent de votre part de le prendre pour correct. Je suis très intéressé par votre retour et trouverez des adresses ou me joindre sur ce site.

Les calculs sont faits dans le référentiel du mobile.

Symboles


c
est la vitesse de la lumière

ρ
est la densité du milieu

S
est la surface efficace de capture

M
est la masse du vaisseau

β
est la vitesse réduite, v/c, de la matière par rapport au vaisseau.

η(x)
est la rapidité correspondant à la vitesse x. Elle vaut arctanh(x), inverse de la tangente hyperbolique. La rapidité est additive, contrairement à la vitesse.

m
est la masse de matière capturée.

t
est le temps dans le référentiel de la matière capturée.

τ
est le temps dans le référentiel du vaisseau.

γ(x) est le facteur d'échelle entre deux référentiels se déplaçant à une vitesse réduite x. Il vaut (1- x2)-1/2.

γ
est le facteur d'échelle pour la vitesse réduite β.

Λ(x) 
est la matrice de la transformée de Lorentz pour la vitesse x, C.f (1.1).

Β
Sorte de section efficace de capture, vaut ρSc / M.

Méthode, calculs généraux

Dans ce paragraphe on trouve la méthode générale et le calcul des éléments qui sont identiques dans plusieurs cas, comme la quantité de matière capturée, par exemple.

On ne considère que la dimension d'espace dans l'axe du déplacement, x. De cette manière les 4-vecteurs événements (ct, x, y, z) ou tous les invariants par la transformée de Lorentz, se réduisent à deux dimensions et peuvent se simplifier en (ct, x).

Il faut calculer le 4-vecteur différence des événements (c(τ +dτ), 0, 0, 0) et (cτ, 0, 0, 0) soit ((c(τ +dτ), 0) -(cτ, 0,)), pour avoir la distance parcourue dans le référentiel de la matière et évaluer la quantité qui est capturée.

Ensuite on applique la conservation de l’énergie et de l'impulsion dans le cadre de la relativité restreinte.

Capture entre τ et τ +dτ :

Dans tous les cas qui suivent, la capture est toujours identique, et on peut donc la quantifier pour tout ce qui suit :

Entre les deux instant τ et τ +dτ, le vaisseau drague une surface S dans un milieu de densité ρ. Il balaye un volume de S dx, ou dx est son déplacement dans le référentiel de la matière capturée pendant dτ.

On veut donc changer le 4-vecteur (c dτ, 0) depuis le référentiel du vaisseau vers le référentiel de la matière capturée. On utilise la transformée de Lorentz Λ(β), puisqu'ils sont animés d'une vitesse β l'un par rapport à l'autre :

(1.1)
(1.2)
(1.3)

Le vaisseau ayant parcouru dx, il balaye un volume de Sdx dans lequel toute la matière, en densité ρ, est capturée : m = ρSdx. On remplace dx avec (1.3) :

(1.4)

L'impulsion à l'instant τ ou t :

L'expression du 4-vecteur énergie-impulsion à l'instant τ est également identique dans tous les cas puisqu'il ne contient pas la façon dont est consommée la matière récupérée.

Le 4-vecteur d’impulsion du vaisseau, de masse M, dans son propre référentiel, et en omettant les coordonnées y et z :



Pour la matière capturée, de masse m, on part de son impulsion dans son référentiel que l'on transporte dans le référentiel du vaisseau animé d'une vitesse -β :



(1.5)

Le 4-vecteur d’impulsion du système est la somme des deux contributions :

(1.6)

L'impulsion à l'instant d'après, à τ +dτ :

La manière de transformer la capture ne sera connu que plus tard. L'énergie totale, après transformation est "e" et la quantité de mouvement produite est "q". La matière capturée m devient, sans perte de généralité :



On peut comparer (1.5) avec ce résultat pour identifier "e", approximativement à γmc. La valeur de q selon la transformation de cette énergie e détermine l'efficacité de l'engin.

Pendant ce laps de temps, la vitesse du vaisseau a changé de dβ, ce qui lui donne la nouvelle impulsion :



Comme dβ est très petit, aussi petit que l'on veut, on peut considérer que γ(dβ) est très proche de 1. En effectuant un développement en série au deuxième ordre de γ(dβ), on retrouve la mécanique classique qui est valable à cette toute petite vitesse et γ(dβ) ≈ 1 + ½2. On a donc un second ordre que l'on peut négliger. On obtient :



Le nouveau 4-vecteur d’impulsion du système est :

(1.7)

Équations de conservation :

La conservation du 4-vecteur d’impulsion résume la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie du système qui prend donc la forme :



On peut maintenant développer et séparer les dimensions en deux équations :

(E)
(P)

En posant :

(1.8)

Et en injectant B dans (1.4) pour (M) et en simplifiant (E) et (P), on obtient une expression générale de la capture et de la conservation de l'impulsion :

(M)
(E)
(P)
(1.9)

En exprimant e et q en fonction de la transformation de la capture, on pourra avec le système (1.9) obtenir une expression de dβ.

Le Bussard Ramjet Idéal

Ce cas étant entièrement soluble analytiquement, il fait l'objet d'un document à part. On pourra vérifier que l'on retrouve la même équation différentielle.

Ici, l'intégralité de l'énergie capturée est transformée en quantité de mouvement. Physiquement, cela signifie que cette énergie est transformée en lumière émises dans la direction -x, exactement. On a alors e = q. Avec (1.9-E) on en déduit que q = γmc que l'on utilise dans (1.9-P)


(1.10)

On retrouve bien l'équation différentielle (1.8).

Tous les dispositifs mentionnés dans la suite ont des performances inférieures à celle du Bussard ramjet idéal.

Bussard ramjet avec perte de l’énergie cinétique

Il s'agit d'un autre cas simple ou l'intégralité de la matière capturée est convertie en lumière envoyée exactement dans l'axe du mobile, mais ou on perd l'énergie cinétique de la matière capturée.

Si on perd l'énergie cinétique, alors seule l'énergie de masse contribue à la quantité de mouvement. Si la transformation de l'énergie de masse est parfaite, on a q = mc. On peut passer à (1.9-P) et y injecter q :

(1.11)

Tant que βγ est inférieur à 1, dβ est positif, mais lorsque que la vitesse est suffisamment grande cette quantité dépasse 1. La vitesse à laquelle cela se produit est la vitesse maximale que pourra atteindre cet engin :


Intégration :

Comme β n'est pas une quantité additive, on effectue un changement de variable vers la rapidité η(β) = η = atanh(β), qui elle l'est, de façon à pouvoir intégrer. Comme la dérivée de tanh(x) en 0 est 1, on peut remplacer dβ par dη. Avec cette nouvelle variable γ = cosh(η) et βγ = sinh(η). Ainsi réécrite et en l'intégrant l'équation devient :



 

WolframAlpha et Number Empire donnent une expression pour l'intégration.



 

Malheureusement, celle-ci est assez complexe et il parrait difficile de l'inverser pour trouver une expression β en fonction de τ.

Bussard ramjet avec éjection de matière

Dans ce modèle l'énergie totale capturée est transformée en un flux de matière dans la direction -x. Une partie, ε, de la masse est convertie en énergie cinétique qui accélère le reste de la matière.

L'énergie du flux sortant, e, peut être exprimée comme l'énergie de la masse restante soit (1 - ε)mc, avec sa nouvelle vélocité, -ω. L'équation (1.9-E) donne donc :


Pour utiliser (1.9-P), il nous faut maintenant q qui se déduit de la même manière que précédemment :


On remarque que q = e ω = γmc ω. Il ne manque que l'expression de ω que l'on peut extraire de l'énergie :





On peut maintenant utiliser cette valeur de ω dans l'expression de q trouvée plus haut :


On injecte cette expression de q dans l'expression de la quantité de mouvement (1.9-P) pour avoir l'équation différentielle du mouvement. Ensuite, on remplace m par la valeur donnée par (1.9-M) :


(1.12)

L'équation (1.12) est équivalente à l'équation différentielle trouvée en (15) pour le même cas traité par Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac dans [6]. Leur calcul à été mené dans le référentiel de la matière capturée puis ramené dans le référentiel propre :


=ln(e^{B\tau}-1)

=ln(e^{B\tau}-1)

=ln(e^{B\tau}-1)

Pour intégrer, il y a une solution algébrique, on regroupe les variables β et γ à gauche et le temps propre à droite et on fait le changement de variable vers η :



Une expression de l'integrale peut être trouvée à l'aide de WolframAlpha.


De nouveau, il est très difficile d'inverser τ(η) pour avoir η(τ) et ainsi obtenir β(τ).

Vitesse limite :

D'après (1.12), dβ est positif tant que :





L'inéquation aboutit à une évidence et donc elle est toujours vraie. Ce modèle n'a pas de vitesse limite.

Bussard ramjet avec éjection composite

Ce modèle s'inspire de celui utilisé par [3] pour un moteur matière-antimatière. Ce modèle prend en compte à la fois l'éjection de matière, de lumière et de perte.


Utilisation de l'énergie ε, n, δ

L'appareil transforme une part ε du flux d'entré en énergie. Le reste du flux est éjecté sous forme de matière, comme dans le cas précédant. Une partie (1 - n) de l'énergie produite est perdue, en rayonnement isotrope, par exemple. Une partie δ de ce qui reste est transférée au flux de matière, tandis que la part (1 - δ) est un rayonnement de particules sans masse envoyé dans la direction -x.

Ci dessous on explicite les différentes contribution à l'énergie et à la quantité de mouvement dans l'ordre : flux de matière, perte, et flux de particules sans masse :


Toutes les quantités relatives à q étant négatives, les flux étant dirigés vers -x, on donne ici l'opposé afin d'alléger l'écriture.

Grâce à e = γmc, on va trouver une expression pour ω :






On peut maintenant calculer q, connaissant ω:




(1.13)

Pour intégrer, on procède comme pour le cas précédant en regroupant les termes en β et γ à droite et en temps propre à gauche. Puis il faut changer de variable pour passer en rapidité.

Vitesse limite :

D'après (1.13), dβ est positif tant que :







On parvient péniblement à une équation du second degrés en β, ce qui indique qu'il y a une vitesse limite. L'expression algébrique de cette vitesse est probablement très lourde.

Bussard ramjet Bremsstrahlung

Jusqu'ici on a considéré que la capture était utilisée dans son propre référentiel, ce qui à partir d'une certaine vitesse deviendra impossible, le temps de transit à bord devenant de plus en plus petit.

Maintenant, la matière va d'abord être mise à la même vitesse que le vaisseau. On suppose que ce "ralentissement" s'accompagne d'un rayonnement dans la direction -x et d'intensité identique à l'énergie cinétique. Dans le monde physique ce qui se rapproche le plus de ce phénomène est le rayonnement Bremsstrahlung qui a été identifié comme un problème majeur auquel doit faire face le bussard ramjet [8].

On considère que t est la proportion d'énergie cinétique récupérée, le reste (1-t) est perdue. La matière capturée, maintenant stationnaire dans le vaisseau, est transformée en un flux de particules sans masse orienté vers -x.


L'équation d'énergie ne nous apprend rien car elle se simplifie complètement. De toutes façons nous n'avons besoin que de q pour compléter l'équation (1.9-M) :


(1.14)

Si on prend t = 1, on retrouve le cas du Bussard idéal donné en (1.10). De même si on prend t = 0, on retrouve le cas du Bussard avec perte d'énergie cinétique donné en (1.11).

Pour intégrer, on procède comme précédemment, regroupement des termes et changement de variable vers la rapidité.



Vitesse limite :

D'après (1.14), dβ est positif tant que :



A partir d'ici, on peut affirmer que la vitesse limite est supérieure à t.c où t est la part d'énergie cinétique de la matière capturée transférée. On recherche maintenant les racines de l'équation :




C'est une équation du 2nd degrés.

Racines de Beta max







La vitesse limite est donnée par β2 qui est toujours positive et correspond au vitesses limite calculées dans le cas du bussard avec perte d'énergie cinétique (βmax = 1/√2) et dans le cas idéal (βmax = 1).

On peut tracer le graphe de βmax en fonction du taux de transfert d'énergie cinétique t :

Racines de Beta max

Conclusion

Relativement simple dans le cas idéal, la cinétique du bussard se complique très rapidement lorsqu'on y introduit de l'inefficacité. Souvent, l'expression de τ en fonction de β, obtenue après intégration, n'est pas inversible ce qui complique les étapes suivantes.

Ces modèles supposent que la capture de matière, à travers la constante B, est simple et parfaite, ce qui est assurément une hypothèse fausse. L'étude de modèles de capture prenant en compte les champs électromagnétiques et de leur efficacité serait intéressante mais dépasse de beaucoup mes compétences.





Références

[1] Galactic Matter and Interstellar Flight, Robert W. Bussard; Los Alamos Scientific Laboratory, University of California, Los Alamos, NM. Local mirror.
[2] Investigation of outer space rocket appliances, Konstantin Tsiolkovsky, 1903. Local mirror, Voir aussi Wiki, pour ceux qui ne sont pas russophones.
[3] A note on relativistic rocketry, Acta Astronautica, Shawn Westmoreland, Volume 67, Issues 9-10, November-December 2010, pp. 1248 - 1251. Local mirror.
[4] Our Local Galactic Neighborhood, Dr. Paulett Liewer. Donne une densité de ~0.3 atoms/cm3. Cette autre reférence Local Chimney and Superbubbles est plus complet sur la situation du système solaire.
[5] Is Interstellar Travel Possible ?, Opik, E. J., Irish Astronomical Journal, vol. 6(8), p. 299. Local mirror.
[6] The equation of motion of an interstellar Bussard ramjet, Claude Semay and Bernard Silvestre-Brac, Eur. J. Phys. 26 (2005) 75–83, doi:10.1088/0143-0807/26/1/009. Local mirror.
[7] Short course in special relativity, M. Strovink, Spring 2006, University of California, Berkeley, Local mirror.
[8] Bremmstrahlung radiation losses in polywelltm systems, Robert W. Bussard and Katherine E. King, Oct 1992, .

Remerciements

Les images des formules mathématiques ont été produites avec mimetex. La plupart des hébergeurs gratuits ne proposant pas les cgi-bin, les formules sont prés-compilées à l'aide de ce script.

Je ne serait arrivé à rien sans les travaux cités en référence, en particulier le cours de mécanique relativité restreinte de UBC [7] et ainsi que l'article de Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac [6] qui m'a été très utile.

Également indispensables, j'ai beaucoup user des sites qui proposent d'effectuer les calculs en lignes WolframAlpha et Number Empire, en particulier les intégrations et les graphiques.




















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